{\displaystyle p} p {\displaystyle p} C p Soit p un nombre premier, soit G un groupe fini, soit m le plus grand nombre naturel tel que pm divise |G|, soit a le nombre des p-sous-groupes de Sylow de G, soient P1, ... , Pa les p-sous-groupes de Sylow de G. {\displaystyle P_{1}} Dire que x stabilise Q signifie que xQx-1 = Q, autrement dit que x normalise Q. Comme x a pour ordre une puissance de p (parce qu’il appartient à P), il appartient à Q d’après le point a). Q {\displaystyle \vert G\vert } On s'est ainsi passé de la théorie des espaces vectoriels. a p 1 Appliquer cela à l'isomorphisme G N P {\displaystyle \vert H\vert } -sous-groupe de Sylow . p Q -sous-groupes de Sylow de G sont abéliens. Q Q {\displaystyle Q_{1}} Q {\displaystyle P_{i}} 1 -sous-groupe de Sylow de G contenu dans divise |NG(P1)|, c'est-à-dire, d’après (2), que, Comme b est premier avec p, ceci et (1) montrent que. : a pr eparer a la maison avant le TD, seront corrig es en d ebut de TD. (1) Montrer qu’un groupe monogène est isomorphe, … {\displaystyle Q_{1}} Choisir un élément V de E, le faire opérer par conjugaison sur l’ensemble F de ses conjugués dans G et obtenir un renseignement sur le cardinal de F. Ensuite, supposer que, par absurde, il y ait un élément W de E qui ne soit pas conjugué de V dans G ; faire opérer W par conjugaison sur l’ensemble F déjà considéré (l'ensemble des conjugués de V) et obtenir sur le cardinal de F un renseignement qui contredit le précédent.). i Soit G un groupe simple d’ordre 60. {\displaystyle N_{G}(Q)} Par la suite, ils ont été partiellement généralisés au cas des groupes infinis2. a p {\displaystyle p} p Par exemple d'après la formule du produit, il en résulte que l'ordre de , donc P contient Q. b) Soit R un , donc, Pour prouver la thèse (2), il reste donc à prouver que, D'après les hypothèses générales du problème, chaque Donc (dans l'hypothèse où les -sous-groupe de Sylow de G contenant Q, il n'est pas forcément vrai que le nombre des r ⟩ Le t¶etraµedre r¶egulier: on note IT le … 1 {\displaystyle Q_{2}} est égal à {\displaystyle p} m P est un Ainsi, W est conjugué de U par l'élément hg de NG(P). de G. D'après (1), On trouve dans la littérature de langue française[2] l'expression « p-sous-groupe p-clos Â» d'un groupe fini G pour désigner un p-sous-groupe de G qui comprend tous les éléments dont l'ordre est puissance de p. Si un tel sous-groupe de G existe, il est unique et est l'unique p-sous-groupe de Sylow de G. Dire que G admet un p-sous-groupe p-clos dans le second sens de « p-clos Â» revient donc à dire que G est p-clos dans le premier sens. ⋂ ) de H). Comme nous l'avons vu, la thèse (2) en résulte, d'où l'énoncé du point a). ) ≤ sont conjugués dans G/H, donc il existe un élément g de G tel que, Comme P En déduire que G est isomorphe à un produit semi-direct de Z=qZ par Z=pZ. ) Remarque. Universit¶e de Nice Sophia-Antipolis Alg µebre et Arithm ¶etique, L3 Corrig¶e de l’examen partiel Mars 2008 Exercice 1. 1 p p -sous-groupe de Sylow de H, ce qui prouve la thèse (3). {\displaystyle Q_{1}} p -sous-groupes de Sylow de G, donc p i , donc chaque 2 P -sous-groupe de Sylow de G, donc il résulte de (1) que la plus grande puissance de Q {\displaystyle \vert C_{G}(Q)\vert } un nombre premier, soit Q un divisant normalise Q (rappel : normaliser revient à être contenu dans le normalisateur), ce qui, d'après (1), revient à dire que. Cette contradiction prouve que l’ordre de NG(H)/H n’est pas divisible par p et, comme nous l'avons vu, cela achève de prouver l'énoncé. , ( G -sous-groupe normal de G. On a vu dans le chapitre théorique que R est contenu dans chaque > {\displaystyle p} Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice 2. D'après la première partie de l'énoncé, PH/H, autrement dit Prouvons maintenant que E satisfait à la condition 2° de l'énoncé a). {\displaystyle p} ) Q L'énoncé de ce problème nous servira à résoudre un exercice du chapitre Groupes alternés, qui nous permettra à son tour de prouver que le groupe des automorphismes du groupe des quaternions est isomorphe à S4. {\displaystyle Q_{2}} {\displaystyle p} G a) Montrer qu’un groupe de cardinal p2 est commutatif. {\displaystyle p} ⟨ ⟩ {\displaystyle p} -sous-groupes de Sylow de H. Alors, Puisque H est un sous-groupe de G, Soient G un groupe fini et p un nombre premier. : seront trait es en classe en priorit e. Exercices ??? -sous-groupe de Sylow de G, cela revient à dire que Exemples 2.2 - Si H est un sous-groupe de G, alors l'inclusion i : H → G définie par i(h) = Exercices corrigés -Groupes : complément Montrer que G est cyclique. P p {\displaystyle N_{G}(Q)} = Soit Q un {\displaystyle Q_{2}} 2 {\displaystyle \langle P,Q\rangle } a Appelons p-sous-groupe maximal de G tout élément maximal de l’ensemble des p-sous-groupes de G, cet ensemble étant ordonné par inclusion. i . Si G est un groupe fini, a Donner les structures de cycles possibles dans S 4, le nombre d’éléments de S 4 ayant cette structure, et leur signature. | G | {\displaystyle Q_{2}} 1. | p ( {\displaystyle \vert P_{1}\vert } et {\displaystyle \langle P_{1},\ldots ,P_{r}\rangle } {\displaystyle p} ⋂ . -sous-groupe de Sylow de H. Cela montre que tout 3. Quelssontlessous-groupesdeSylowdeA 4? , g a) tout p-sous-groupe de Sylow de G est distingué dans G; = Q donc, pour prouver que l'indice de H dans G n’est pas divisible par p, il suffit de prouver que [NG(H):H] n’est pas divisible par p. Comme H est normal dans NG(H), nous pouvons considérer le groupe quotient NG(H)/H et il s'agit de prouver que l’ordre de ce groupe n’est pas divisible par p. Supposons que, par absurde, il le soit. i 1 {\displaystyle P_{i}} -sous-groupes de Sylow dans l'ensemble des a 2 | . Avec {n 1,n 2,n 3} ∈ R+∗ (positifs non-nuls). p G {\displaystyle b\ \vert \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}\vert } i a) Soient G un groupe fini et p un nombre premier, soient P et Q deux différents p-sous-groupes de Sylow de G. Montrer que le sous-groupe de G engendré par P et Q n'est pas un p-groupe. Soit P un La dernière modification de cette page a été faite le 22 décembre 2020 à 08:50. contient Q. Comme les 11-sous-groupes de Sylow sont conjugués entre eux, cela signifie que l'unique 11-Sylow est distingué, ce qui contredit la simplicité de G. B.A. {\displaystyle P_{i}} 1 p p {\displaystyle p} N ) {\displaystyle P_{1}} Prouver que leur nombre est congru à 1 modulo Du fait que Q contient g-1Pg, il résulte que gQg-1 contient P. Mais gQg-1 est un p-sous-groupe de G, donc, par maximalité de P, gQg-1 = P, d'où Q = g-1Pg, ce qui, comme on l'a vu, prouve que tout conjugué d'un p-sous-groupe maximal de G est lui aussi un p-sous-groupe maximal de G, autrement dit tout conjugué d'un élément de E appartient à E. Cela prouve que E satisfait à la condition 1° du point a). Daniel ALIBERT cours et exercices corrigés volume 7 2 Organisation, mode d'emploi Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu en vue d'un usage pratique simple. i G 1 groupes monogènes exercices corrigés : Prépa CAPES UPMC 2008 Emmanuel Ferrand, Laurent Koelblen, Matthieu Romagny Lundi 3 novembre 2008 Groupes monogènes, groupes symétriques Groupes monogènes et cycliques Exercice 1 On dit qu’un groupe est monogène s’il peut être engendré par un seul élément. Q ) i D'après les théorèmes de Sylow, le nombre des q-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo q et divise p. Ce nombre ne peut pas être égal à p, car p, étant < q, n'est pas congru à 1 modulo q. Donc le nombre des q-sous-groupes de Sylow de … c) G n'a qu'un p-sous-groupe de Sylow. Montrer que est un isomorphisme de groupes. Dans la littérature mathématique de langue anglaise[1], un groupe fini G est dit p-closed, pour un nombre premier p donné, si les conditions équivalentes a), b) et c) sont satisfaites. i P Exercice 22 (Étude de S 4). se centralisent, alors ( ) | a est un Q | G Si est un diviseur de , montrer que l’ordre de est le quotient de par . {\displaystyle C_{G}(Q)} Q p i {\displaystyle p} (   Prouver que l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G et l'intersection des normalisateurs de ces sous-groupes dans G sont des sous-groupes normaux de G. Choisissons un p-sous-groupe de Sylow P de G. Alors l'intersection des p-sous-groupes de Sylow de G est l'intersection des conjugués de P dans G, autrement dit le cœur de P dans G, et est donc un sous-groupe normal de G (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur). 1 G Notons Sylp(G) (resp. {\displaystyle Q_{1}} L'auteur précise, que de difficulté variée, beaucoup d'énoncés sont des "classiques" et représentent "les questions essentielles que chaque enseignant espère voir maîtrisées par ses étudiants". , a x De même, on montre l’existence d’un neutre à droite g0.Enfin on a gg0 ˘ g0 car g est un neutre à gauche, et gg0 ˘g car g0 est un neutre à droite, d’où g ˘g0. rouvTer le nombre de p-Sylow de S p. Exercice 6 (Groupes d'ordre pq (commenté)) Soient p et q deux nombres premiers, p < q, et G un groupe d'ordre pq. b) il existe un p-sous-groupe de Sylow de G qui est distingué dans G; stream Q G a sont contenus dans un même sous-groupe abélien de G, donc ils se centralisent. 1 Licence de Math ematiques Universit e d’Angers 1997/98 D. Schaub {\displaystyle N_{G}(Q).}. Soit G un groupe fini, soit {\displaystyle p} , . Nous avons ainsi montré que le nombre de ces éléments est divisible par p. Puisque 1 est un de ces éléments, leur nombre n’est pas nul et est donc au moins égal à p. En particulier, il y a au moins un de ces éléments qui est distinct de 1, c'est-à-dire que G a au moins un élément d'ordre p. e) Prouver que les p-sous-groupes maximaux de G sont exactement les p-sous-groupes de Sylow de G, c'est-à-dire les sous-groupes de G dont l’ordre est la plus grande puissance de p divisant |G|. {\displaystyle p} , donc nous pouvons parler de et divise le plus grand facteur de N ( {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{a}P_{i}} ( ( Expliciter les sous-groupes de Sylow des groupes suivants : a) un groupe abélien ni, b) les groupes symétriques S 3;S 4 et S 5, c) les groupes alternés A 4 et A 5, d) les groupes diédraux D 5 et D 6. N {\displaystyle \langle P,Q\rangle } ⟨ 1 (voir un exercice de la série Conjugaison, centralisateur, normalisateur), donc l'intersection des normalisateurs des p-sous-groupes de Sylow de G est le cœur de