Phénomène de Gibbs 3.3 Théorème de Riemann-Lebesgue Théorème 8 (Riemann-Lebesgue, sans démonstration). Dé nition 2.1. (Intégrale définie) 1. INTEGRALE DE RIEMANN. Parmi elles, il en existe une telle que la variété riemannienne obtenue soit complète et de courbure constante -1,0 ou 1. De leur côté, ses compa¬ triotes mathématiciens Jean-Benoît Bost et Alain Connes ont construit en 1995 un C*-système dynamique dont la fonction de partition est la fonction zeta, ce qui a motivé Connes en 1996 à chercher une relation entre une formule de trace en géométrie non-commutative et la conjecture de Riemann. Preuve. Dilogarithme sur une surface de Riemann compacte 1.2 Lien entre la fonction R ω et le r´egulateur La d´efinition (1.18) de la fonction R ω n’est peut-ˆetre pas tr`es parlante. En + ∞ On va utiliser le critère de Riemann. 6 Chapitre 1. 1 Intégrales et primitives Pour ce chapitre, a0 Rest intØgrable si, et seulement si, pour tout ">0 , il D’après le théorème de convergence des sommes de Riemann pour les intégrales impropres (voir l’exercice n° 8 de cette fiche) : Intégrale de Riemann sur [a,b] x y a k k+1 b Fig. d’une variable r eelle, s’il existe, le prolongement est unique. Définition 2.4 : somme de Riemann associée à une fonction continue sur un segment Théorème 2.7 : approximation de l’intégrale d’une fonction continue sur un segment à l’aide de sommes de Riemann Définition 2.5 et théorème 2.8 : approximation par des rectangles ou des trapèzes de l’intégrale sur un Définition de la convergence uniforme Soit (fn) une suite de fonctions numériques sur E .Soit A un sous-ensemble de E . C’est une longue histoire, d’autant plus que contrairement à la dérivée, il existe plusieurs types intégrales (de Riemann, de Lebesgue…). La formule de changement de variables 7 5. 1.2 – S∆(f) On dit que la subdivision ∆0 est un raffinement de ∆ si l’ensemble des valeurs de la suite finie ∆ est inclus dans celui des valeurs de la suite ∆0, ce que nous noterons avec un léger abus ∆ ⊂ ∆0.Il est facile de vérifier que IntØgrabilitØ au sens de Riemann 9.5 9.5 IntØgrabilitØ au sens de Riemann DEFINITION Une fonction f: [a;b] ! En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Intégration de Riemann : Intégrale et primitives Intégration de Riemann/Intégrale et primitives », n'a pu être restituée correctement ci-dessus. Elle trouve sa justification et son int´erˆet dans l’explicitation d’une application 1.1.3 Etendre l’intégrabilité au sens de Riemann L’idée est désormais de voir comment on peut étendre (d’où le nom d’intégrales généralisées ) cette notion aux cas suivants, jusque-là non traités : Une conséquenceimportante du Théorème de Riemann-Lebesgue est donnée par le résultat suivant : Une telle métrique est unique à un facteur près. Yb. REFUTATION DE L’HYPOTH´ ESE DE RIEMANN. Si f,gsont deux fonctions dé nies sur [a,b] et à aleursv réelles, la notation f≤ gsigni e que f(x) ≤ g(x) pour tout x∈ [a,b]. Nous admettrons et utiliserons souvent le théorème suivant: Théorème 2.7.Soit [a,b] un intervalle fermé borné deR.Alorstoutefonctioncontinuef:[a,b] R est intégrable sur[a,b]. Montrons tout d™abord queXest une surface de Riemann. De quoi il s'agit. Alors X est naturellement munie d™une structure de surface de Riemann compacte ØpointØe qui rend fholomorphe. Supposons que l'intégrale de l'application partielle soit convergente sur . Chaque type de problème peut ensuite se ramener par un changement de variable, au cas d'une intégrale sur . L’article de Riemann [Rie1859] sur la répartition des nombres premiers est son unique texte traitant de théorie des nombres, il y développe les propriétés de la fonction zêta ζ(s)= ï¿¿ nï¿¿1 n −s et démontre le théorème des nombres premiers en admettant au passage plusieurs résultats dont ce qui est aujourd’hui appelé l’hy- Réciproquement, si Σ est une surface de Riemann, il est possible de définir plusieurs métriques riemanniennes compatibles avec sa structure complexe. Soit une fonction définie sur , où est un intervalle de . [Commentaire : on se rappelle du cours magistral que le rang d'une famille nie de vecteurs est la rang de la matrice qu'on forme en mettant ces vecteurs comme colonnes (ou lignes, c'est pareil) de … This third edition is a two-tier masterpiece, comprising Lebesgue's original exposition, as embodied in the first edition, and his ideas more than a quarter century later, including his generalization of Denjoy's totalization. La definition de lintégrale donnée par Riemann . Ex : La fonction f : [0,1] → R, x 7→ (1 x si x 6= 0 1 si x = 0, n'est pas continue par morceaux sur [0,1] mais sa restriction à ]0,1[ est loca- Afin de ne pas alourdir les notations, nous nous limiterons à ce dernier cas. Note 2.8. Donc par le critère de Riemann, on conclut que 0 dt cht +∞ ∫ converge. L’intégrale est impropre en les deux bornes. Réciproquement, si Σ est une surface de Riemann, il est possible de définir plusieurs métriques riemanniennes compatibles avec sa structure complexe. de représentation conforme, ou, pour reprendre les termes de Riemann, de similitude entre les triangles infinitésimaux du plan des z et du plan des ω. Comme il vient : On reconnaît une somme de Riemann attachée à l’intégrale précédente. En définitive, l’intégrale proposée converge et . 1.1 Subdivisions. de Riemann compacte ØpointØe. On dit que la suite (fn) converge uniformément sur A s'il existe une fonction f de A dans È (ou Â) telle que : (2) ™ > 0 , ¡n0 ‘ ˙ , n ≥ n0, x ‘ A , …fn(x) - f(x)… ≤ ™ ou, ce qui est … Une telle métrique est unique à un facteur près. On appelle intégrale définie de \(f(x)\) sur \([a, b],\) la limite, si elle existe, de la somme de Riemann \(S_n\) quand le nombre n d'intervalles tend vers l'infini (c.a.d. Parmi elles, il en existe une telle que la variété riemannienne obtenue soit complète et de courbure constante -1,0 ou 1. The text is in French. Rest dite (Riemann) intØgrable si l™on a Z b a f= Z b a f2 R. Ce nombre s™appelle l™intØgrale (de Riemann) de fet se note Z b a f. LEMME Une fonction f: [a;b] ! Chapitre 1. (Intégrabilité au sens de Riemann) Une fonction réelle f:[a,b] R est dite intégrable sur [a,b], si ∀ǫ> 0, ∃f1,f2:[a,b] R fonctions en escaliers telles que: 1. f1 6 f 6 f2 (i.e. La nuance entre l'intégration au sens de Riemann et au sens de Lebesgue. The book contains the famous appendix on transfinite numbers. THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DE L’INTÉGRATION 22 Si f est intégrable au sens de RIEMANN, la limite I (qui est unique) est appelée intégrale de RIEMANN de f sur [[[a,b]]]]; on la note : b Concept de Fonction 1 Intégrale de Riemann François DE MARÇAY Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France 1. 2c’est- a-dire autres que les z eros aux entiers n egatifs pairs; par ailleurs, on sait que l’hypoth ese de Riemann est en fait equivalente a (5) 2. Si la suite converge simplement, alors la limite est unique. Ce tutoriel au sujet bien exotique va tenter d'explorer en partie un objet fascinant par sa simplicité et sa grande profondeur : la sphère $\mathbf{S}^2\subset \mathbf{R}^3$.. C'est un objet que l'on rencontre très facilement, et pourtant, on étudie assez peu les transformations régulières de cette sphère. On ´etend donc par continuit´e la fonction 1{ζpsq en s “ … qu'on est en R3 (de dimension 3) et que card(V [W) = 4 cette famille est certainement liée. quand \(Dx_i \rightarrow 0)\) et sera notée : De plus le revŒtement fs™Øtend de maniŁre unique en une application holo-morphe fb: Xb! Primitives 4 3. Le schéma général utilisé pour construire une intégrale et qui cherche à mesurer l'aire du domaine sous la courbe, est le même pour les deux approches de l'intégration, au sens de Riemann et au sens de Lebesgue. Quelques notions sur l’intégrale de Riemann 1 2. \L’unique objet de la science est d’honorer l’esprit humain, et a cet egard un probl eme de la th eorie des nombres a autant de valeur qu’un probl eme sur le syst eme du monde" C’est dans ce contexte qu’un des (rares) etudiants de Gauss, Riemann, va permettre une avanc ee d ecisive dans le probl eme de r epartition des nombres premiers. La th eorie de l’int egration selon Riemann s’ etend de fa˘con naturelle a des fonctions non born ees d e nies sur des intervalles born es ou non born es. dans K est une application de dans l’ensem le des fontions de dans K. 1. TRIBUS. Comme est majorée par 1 : et donc . f. Nest homog`ene ( (λf) = |λ f)) et v´erifie l’in´egalit´e triangulaire ( + g) ≤ ). ∀x ∈ [a,b],f1(x) 6 f(x) 6 f2(x)) 2. C’est l’objet de ce chapitre ! Intégration par parties 6 4. Si g: [a,b] → C est une fonction intégrable (au sens de Riemann) sur le fermé [a,b], alors lim n→±âˆž ˆ b a g(φ)e−inφdφ= 0. 2-4. Convergence simple d’une suite de fonctions: Définition Une suite de fonctions: de dans K converge simplement vers la fonction si pour tout , la suite numérique converge vers .On note . La fonction ζ de Riemann Julien Baglio 7 mai 2005 Le but de cet article est de pr´esenter les polynˆomes de Bernoulli, dont l’une des nombreuses applications est le calcul de ζ(n) pour n entier naturel pair. 3` La fonction ζpsq admet un unique pˆole, qui est simple, en s “ 1. 2 2 2 2 1 1 x x x x x x xe chx e e e---= = + +. 15: Définition géométrique de lintégrale . Et si oui quelle est sa valeur ? Bien que cette th eorie ait et e tr es utile en math ematiques et ait eu de